Δήλιο Πρόβλημα: Ο διπλασιασμός του κύβου στην αρχαία Ελλάδα
- Παναγιώτα Απέργη - 15 Ιουλίου 2022
Ο διπλασιασμός του κύβου, το Δήλιον Πρόβλημα, γνωστό στους μαθηματικούς της αρχαιότητας σε Αίγυπτο, Ινδία και Ελλάδα είναι ένα από τα τρία1 προβλήματα της αρχαιότητας που δεν μπορούν να λυθούν μόνο με κανόνα(χάρακα) και διαβήτη. Οι αρχαίοι Έλληνες έλυσαν όλα τα παραπάνω προβλήματα χωρίς όμως τον περιορισμό η κατασκευή να γίνει με χάρακα και διαβήτη, δηλαδή εκτός από ευθείες και κύκλους στη λύση χρησιμοποίησαν και άλλες καμπύλες. Από τότε πέρασαν περισσότερα πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι τα προβλήματα αυτά δεν λύνονται μόνο με χάρακα και διαβήτη.
Το Δήλιο πρόβλημασυνίσταται στην κατασκευή κύβου που έχει διπλάσιο όγκο από ένα γνωστό κύβο πλευράς α. Ωστόσο ο διπλασιασμός του μήκους της ακμής του κύβου οδηγεί σε οκταπλασιασμό του όγκου του.
Το πρόβλημα πήρε την ονομασία του, σύμφωνα με τη μαρτυρία του Θέωνα του Αλεξανδρέα 2 (335-405μ.Χ.), από τον χρησμό που δόθηκε στους κατοίκους της Δήλου, όταν ρώτησαν το μαντείο για το πώς θα απαλλαγούν από τον λοιμό που μάστιζε το νησί τους. Ο χρησμός έλεγε ότι οι Δήλιοι για να εξευμενίσουν τους θεούς έπρεπε να διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα που βρισκόταν στο νησί τους.
Σύμφωνα με μια εκδοχή οι Δήλιοι ζήτησαν τη βοήθεια του Πλάτωνα, που έτυχε να περάσει από το νησί τους. Ο Πλάτωνας τους εξήγησε ότι ο θεός με τον χρησμό ειρωνεύεται τους Έλληνες επειδή παραμελούν την παιδεία και τους ζητάει να μελετήσουν πιο συστηματικά τη Γεωμετρία. Παρέπεμψε τους Δήλιους στους μαθηματικούς Εύδοξο τον Κνίδιο3 και Ελίκωνα τον Κιζυκινό4, για να επιλύσουν το συγκεκριμένο πρόβλημα. Τους τόνισε όμως ότι ο θεός δεν ζητάει να λύσουν τον πρόβλημα, αλλά με τον χρησμό προστάζει τους Έλληνες να σταματήσουν τον πόλεμο και να ασχοληθούν με τις Μούσες(Επιστήμες), να καταπραΰνουν τα πάθη τους και με τη Φιλοσοφία και τα Μαθηματικά να βελτιώσουν τις μεταξύ τους σχέσεις.
Για την προέλευση του προβλήματος υπάρχουν δύο σημαντικές μαρτυρίες. Η πρώτη προέρχεται από τον Ευτόκιο5, ο οποίος, δίχως να αναφέρει τις πηγές του, παραθέτει μια επιστολή του Ερατοσθένη προς τον βασιλιά Πτολεμαίο. Η έρευνα έχει αποδείξει ότι η επιστολή δεν είναι γνήσια, αλλά οι πληροφορίες που περιέχει, σύμφωνα με τους μελετητές, πρέπει να είναι αξιόπιστες.
Η επιστολή αυτή αρχίζει ως εξής: «Λέγεται ότι κάποιος αρχαίος τραγωδοποιός εισήγαγε στη σκηνή τον Μίνωα, ο οποίος είχε διατάξει να κατασκευασθεί τάφος για τον [γιο του] Γλαύκο και όταν αυτός πληροφορήθηκε ότι ο τάφος ήταν σε όλες του τις διαστάσεις εκατό πόδια, είπε: «Μικρή παράγγειλες τη χωρητικότητα του βασιλικού τάφου. Να διπλασιαστεί αυτή γρήγορα, αφού διπλασιαστεί κάθε πλευρά χωρίς, όμως, ο τάφος να χάσει το κομψό σχήμα του».
Με το Δήλιο πρόβλημα ασχολήθηκαν πολλοί μαθηματικοί, όπως οι: Ερατοσθένης, Ιπποκράτης ο Χίος, Αρχύτας, Εύδοξος, Απολλώνιος, Ήρωνας, κ.ά.. Ο πρώτος που είχε ουσιαστική συμβολή στη λύση του διπλασιασμού του κύβου ήταν ο Ιπποκράτης ο Χίος, που, το 430 π.Χ. περίπου, μετασχημάτισε το πρόβλημα, στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων σε δύο δοθέντα μεγέθη.
Όλοι οι μαθηματικοί που έδωσαν λύσεις στηρίχτηκαν στην παρατήρηση του Ιπποκράτη. Η πρώτη λύση δόθηκε από τον Αρχύτα (430-365 π.Χ.) που χρησιμοποίησε έναν κύλινδρο εκ περιστροφής, έναν κώνο εκ περιστροφής και έναν τόρο6.
Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (408-355 π.Χ.) χρησιμοποίησε για τη λύση μια αλγεβρική καμπύλη τέταρτου βαθμού που είναι γνωστή σαν Καμπύλη του Ευδόξου7.
Ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος 8 (276-194π.Χ.) έδωσε μηχανική λύση και κατασκεύασε τον «μεσολάβο», όργανο ειδικό για τη λύση του προβλήματος, το οποίο αποτελείται από ένα ορθογώνιο πλαίσιο του οποίου η πάνω και η κάτω πλευρά έχουν μέσα στα οποία μπορούν να κινηθούν τρία ίσα ορθογώνια τρίγωνα.
1 Τα άλλα δύο είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου και η τριχοτόμηση της γωνίας.
2 Έλληνας λόγιος και μαθηματικός, που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Υπήρξε ο τελευταίος διευθυντής της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας πριν την καταστροφή της, καθώς και του Μουσείου της, μέχρι που το δεύτερο έπαψε να λειτουργεί με διαταγή του Αυτοκράτορα Θεοδοσίου το 391μ.Χ..
3 Έλληνας μαθηματικός, αστρονόμος, φιλόσοφος, ζωγράφος, γεωγράφος και ιατρός. Θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της ελληνικής αρχαιότητας, εφάμιλλος του Αρχιμήδη.
4 Αστρονόμος και μαθηματικός (4ος αι. π.Χ), από την Κύζικο. Ήταν μαθητής του Πλάτωνα και του Ευδόξου. Προανήγγειλε στον τύραννο των Συρακουσών, Διονύσιο, έκλειψη ηλίου και σεισμό για την 12ην Μαΐου 361π.Χ..
5Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (περ. 480 – περ. 540 μ.Χ.),αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, που ασχολήθηκε κυρίως με τη γεωμετρία. Σχολίασε πολλές μελέτες του Αρχιμήδη και του Απολλώνιου.
6 Στη γεωμετρία ο τόρος είναι ένα στερεό εκ περιστροφής, που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου στον τρισδιάστατο χώρο γύρω από άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο.
7Είναι μια καμπύλη με καρτεσιανή εξίσωση, από την οποία αποκλείεται η λύση x = y = 0.
8Αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, γεωγράφος, αστρονόμος, γεωδαίτης, μουσικός, ποιητής, ιστορικός, φιλόλογος και συγγραφέας. Θεωρείται ο πρώτος άνθρωπος στην ιστορία που υπολόγισε το μέγεθος της Γης και κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς.
